Σε ένα μεγάλο μπολ φτιάχνω το προζύμι ρίχνοντας το ζεστό γάλα και διαλύοντας μέσα του τη μαγιά.

Προσθέτω το μέλι και 3 ΚΣ αλεύρι, ανακατεύω και το αφήνω για 10 λεπτά.

Αναμιγνύω το αλεύρι με το αλάτι και τα ρίχνω εναλλάξ με το βούτυρο στο προζύμι ενώ ανακατεύω με το γάντζο στο μίξερ ή ζυμώνοντας με τα χέρια (ξεκινώντας και τελειώνοντας με το αλεύρι).

Αφού μπουν όλα τα υλικά αφήνω να ζυμωθεί για 7 λεπτά με το γαντζό (και 10 με τα χέρια) μέχρι να ξεκολλάει η ζύμη από το μπολ.

Τη μεταφέρω σε ένα μπολ που έχω αλείψει με λίγο ελαιόλαδο και απλώνω και πάνω της λίγο ακόμα.

Τη σκεπάζω καλά να μην ξεραθεί (με μεμβράνη και πετσέτα) και την αφήνω σε ζεστό μέρος να φουσκώσει διπλασιάζοντας τον όγκο της (περίπου 1 ½-2 ώρες). Μπορώ να τη βάλω σε προθερμασμένο φούρνο στους 30*C, να τον έχω κλείσει και να αφήσω το φως αναμμένο που διατηρεί τη θερμοκρασία του (έτσι θα φουσκώσει πιο γρήγορα τους κρύους μήνες).

Αφού έχει διπλασιαστεί την μεταφέρω σε αλευρωμένη επιφάνεια και τη ζυμώνω απαλά λίγο με τα χέρια ανοίγοντας την σε ορθογώνιο σχήμα και έπειτα τυλίγοντας την σε λουκάνικο (φροντίζω να κολλήσω καλά τις ενώσεις και τις βάζω από κάτω).

Το τοποθετώ σε μακρόστενο ταψί πάνω σε λαδόκολλα, το σκεπάζω για τελευταία φορά (3η φορά) και το αφήνω να φουσκώσει για 30 λεπτά.

Σε ένα μπολάκι χτυπάω ένα αυγό με 1 ΚΣ νερό και αλείφω το ψωμί αφού φουσκώσει από πάνω.

Τα ψήνω σε προθερμασμένο φούρνο στις αντιστάσεις στους 180*C για 30 – 35 λεπτά.

Το βγάζω, το μεταφέρω σε σχάρα και το αφήνω να κρυώσει.