Στο μπολ του μίξερ ρίχνω το ζεστό νερό (όχι καυτό)και μέσα του διαλύω τη μαγιά μαζί με 1 ΚΣ ζάχαρη. Προσθέτω 3 ΚΣ αλεύρι, ανακατεύω να γίνει ένα ελαφρύ κουρκούτι και το αφήνω για 5 λεπτά.

Βάζω την υπόλοιπη ζάχαρη, το αυγό και το εκχύλισμα βανίλιας ενσωματώνοντας τα στο μείγμα.

Προσθέτω το αλάτι στο αλεύρι και τα ρίχνω σταδιακά εναλλάξ με το βούτυρο (αλεύρι-βούτυρο-αλεύρι-βούτυρο-αλεύρι), ξεκινώντας το ζύμωμα με τον γάντζο του μίξερ για 7 λεπτά (ή με τα χέρια).

Μεταφέρω τη ζύμη σε αλευρωμένη επιφάνεια και την ανοίγω σε χοντρό φύλλο των 5-6 χιλ με τον πλάστη.

Κόβω κύκλους διαμέτρου 8,8 εκ με το κουπ-πατ και μέσα τους μικρότερους των 3,5 εκ.

Τους μεταφέρω σε ατομικές λαδόκολλες για κάθε λουκουμά στο ταψί (διαφορετικά όταν έπειτα θα φουσκώσουν και τους πιάσω για να τους τηγανίσω θα ξεφουσκώσουν).

Τους σκεπάζω και τους αφήνω να φουσκώσουν για 15-20 λεπτά.

Σε μια κατσαρόλα με λάδι 4-5 εκ στο ύψος, το ζεσταίνω και τότε ρίχνω τους λουκουμάδες. Ανάλογα το μέγεθος της κατσαρόλας μπορώ να βάλω ταυτόχρονα μέχρι 3 μαζί (για να μην μειωθεί πολύ η θερμοκρασία του λαδιού). Ρίχνω τον κάθε λουκουμά προσεκτικά μαζί με τη λαδόκολλα, η οποία αποκολλάτε μόλις υγρανθεί και την αφαιρώ. Αφήνω να πάρει χρώμα για 2-3 λεπτά και τον γυρίζω και από την άλλη όμοια.

Όταν τηγανιστούν, βγάζω τους λουκουμάδες πάνω σε απορροφητικό χαρτί.

Όσο είναι ακόμα ζεστοί, ρίχνω έναν ένα μέσα σε ένα πιάτο με κρυσταλλική ζάχαρη τον γυρίζω και από την άλλη πλευρά να καλυφθεί με αυτή και τον σερβίρω.