Ξεκινάω πλένοντας το αρνί και έπειτα το κόβω σε κομμάτια, το βάζω σε μια κατσαρόλα, σκεπάζω με νερό και το βάζω να βράσει.
Όταν αρχίσει ο βρασμός αφαιρώ με ένα κουτάλι τον αφρό που βγαίνει από το κρέας στην επιφάνεια, χαμηλώνω τη φωτιά σε μέτρια, μισοσκεπάζω την κατσαρόλα και αφήνω το αρνί να βράσει για περίπου μια ώρα.
Το βγάζω, το αφήνω να κρυώσει, αφαιρώ όλα τα κόκκαλα και το ψαχνό το κόβω σε κομματάκια.
Για το φύλλο σε ένα μεγάλο μπολ αναμιγνύω το νερό, το ελαιόλαδο, το βούτυρο, αλάτι, το γιαούρτι και έπειτα σταδιακά το αλεύρι.
Τη σκεπάζω με μεμβράνη και μια πετσέτα κουζίνας και την αφήνω να ξεκουραστεί μέχρι να ετοιμαστεί το κρέας.
Παίρνω από τη ζύμη τα 2/3 και σε αλευρωμένη επιφάνεια την ανοίγω ώστε το φύλλο να σκεπάζει την διάμετρο του ταψιού και τα τοιχία του.
Την μεταφέρω στο ταψί που έχω προηγουμένως βουτυρώσει και φροντίζω να ακουμπήσει καλά στις γωνίες περιμετρικά.
Απλώνω τη μισή ποσότητα από τον τριμμένο ανθότυρο, τη μισή ποσότητα από την ξινομυζήθρα και τα μισά κομμάτια τις γραβιέρας.
Ρίχνω το κρέας σε στρώση και το αλατίζω ελαφριά.
Συνεχίζω πάλι με την ίδια σειρά και βάζω τα τυριά, ανθότυρο, ξινομυζήθρα, γραβιέρα.
Ραντίζω με το πιπέρι, την κανέλα, τον δυόσμο, το βούτυρο και το ζωμό από το κρέας που έχω στραγγίξει.
Κόβω περιμετρικά την ζύμη που έχει περισσέψει και απλώνω από πάνω το υπόλοιπο φύλλο που ανοίγω στην περίμετρο του ταψιού.
Με μια σπάτουλα, ξεκολλάω λίγο τα τοιχία και σπρώχνω το από πάνω φύλλο προς τα μέσα να κλείσει η πίτα.
Χτυπάω ένα αυγό με 1 κγ νερό και το αλείφω από πάνω.
Πασπαλίζω με λίγο σουσάμι και ψήνω την πίτα σε προθερμασμένο φούρνο, στην κατώτερη σχάρα. Ρυθμίζω στις αντιστάσεις, στους 180*C για περίπου 1 ώρα και 10 λεπτά. Αν πάρει χρώμα από πάνω σκεπάζω με αλουμινόχαρτο.
Αφήνω 10 λεπτά να κρυώσει και σερβίρω.