Σε μια κατσαρόλα βάζω 500 ml νερό να βράσει. Προσθέτω το καστανό ρύζι parboiled UNCLE BEN'S, μειώνω τη φωτιά σε μέτρια-χαμηλή, σκεπάζω με το καπάκι και αφήνω το ρύζι να σιγοβράσει. Όταν έχει απορροφήσει το νερό και είναι έτοιμο, αφαιρώ την κατσαρόλα από τη φωτιά, βγάζω το ρύζι σε ένα μπολ και το αφήνω να κρυώσει.
Σε ένα άλλο μπολ ρίχνω το ρύζι, το τριμμένο καρότο, το κρεμμύδι ψιλοκομμένο, το τριμμένο κολοκυθάκι, τη ζάχαρη, το αλάτι, το αλεύρι, την τριμμένη φρυγανιά και το αυγό ανακατεύοντας καλά τα υλικά να δημιουργηθεί ένα σφιχτό μείγμα σαν ζύμη.
Με τη βοήθεια ενός κουταλιού παίρνω από το μείγμα και φτιάχνω μπαλίτσες.
Τις τοποθετώ σε λαδόκολλα στο ταψί και τις αλείφώ με λίγο ελαιόλαδο.
Τις ψήνω σε προθερμασμένο φούρνο στον αέρα, στους 200 – 230*C για 15- 20 λεπτά. Όταν ροδίσουν και πάρουν χρυσαφί χρώμα, τις βγάζω από το φούρνο και τις αφήνω να κρυώσουν.
Για τη σπιτική κέτσαπ, τρίβω 3 μεγάλες ώριμες ντομάτες. Τις βάζω στην κατσαρόλα μαζί με τη ζάχαρη και το αλάτι, τη ρίγανη, σε μέτρια-σιγανή φωτιά να βράζουν μέχρι να εξατμιστούν τα υγρά τους. Λίγο πριν την βγάλω από τη φωτιά ρίχνω το ξύδι, βγάζουμε από την εστία και την αφήνω να κρυώσει.
Σερβίρω τις ρυζομπελίτσες μαζί με τη σπιτική κέτσαπ δίπλα σε ένα μπολ, τις βουτάω σε αυτή και απολαμβάνω.