Σε ένα μπολ με τον κιμά ρίχνω το ψιλοκομμένο κρεμμύδι, την ψίχα της ντομάτας, το ρύζι, αλάτι, πιπέρι, ελαιόλαδο και αναμιγνύω όλα τα υλικά καλά με τα χέρια μου.
Πλάθω μπαλίτσες μικρές, διαμέτρου 3 εκ. περίπου.
Στην κατσαρόλα με 3 λίτρα βραστό νερό προσθέτω το ελαιόλαδο, το φυτικό βούτυρο, το ζωμό βοδινού, το ψιλοκομμένο κρεμμύδι, τα καρότα, το άνηθο, αλάτι, πιπέρι και το ρύζι.
Αφήνω να βράσει για 5 λεπτά και το ξαφρίζω με ένα κουτάλι απομακρύνοντας τον αφρό από την επιφάνεια. Το αφήνω να βράσει για άλλα 35 λεπτά περίπου με μισόκλειστο το καπάκι της κατσαρόλας σε μέτρια - δυνατή φωτιά.
Όταν τα γιουβαρλάκια έχουν ψηθεί – βράζω ένα και το κόβω τη μέση, πρέπει να είναι άσπρο το χρώμα του – βάζω ένα ποτήρι με 1 κ. σ. κρύο νερό που μέσα του διαλύω 1 κ. σ. αλεύρι. Μόλις διαλυθεί καλά το ρίχνω μέσα στη σούπα σε διάφορα σημεία – όχι όλο μαζί – και ανακατεύω απαλά με την κουτάλα και ανακινώντας την κατσαρόλα ώστε να μην διαλυθούν τα γιουβαρλάκια μέσα.
Αφήνω άλλα 5 λεπτά στη φωτιά να ψηθεί το αλεύρι, κατεβάζω και αφήνω ανοιχτό το καπάκι της κατσαρόλας να κρυώνει η σούπα.
Ετοιμάζω το αυγολέμονο ανακατεύοντας σε ένα μικρό μπολ τον κρόκο με το λεμόνι. Σε ένα άλλο μπολ χτυπάω το ασπράδι να αφρατέψει (να γίνει σχεδόν μαρέγκα) και ενώνω τα δύο μίγματα.
Παίρνω λίγο λίγο ζουμί από την επιφάνεια της σούπας και το προσθέτω στο αυγολέμονο. Μόλις γεμίσει σχεδόν το μπολ αρχίζω την αντίθετη διαδικασία, παίρνω κουταλιές του μίγματος αυγολέμονο – σούπα και τις ενώνω με τη ζεστή σούπα, ανακατεύοντας καλά με την κουτάλα.
Δοκιμάζω για να προσθέσω αν χρειαστεί αλάτι, πιπέρι ή λεμόνι.
Σερβίρω αμέσως.